Processing math: 100%
prikaz prve stranice dokumenta An algorithm for construction of extremal and near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes
  Preuzmi
PDF 1.11 MB
disertacija
An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes
2022. urn:nbn:hr:217:242656
Mravić, Matteo
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Citirajte ovaj rad

Mravić, M. (2022). An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes (Disertacija). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

Mravić, Matteo. "An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes." Disertacija, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

Mravić, Matteo. "An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes." Disertacija, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

Mravić, M. (2022). 'An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes', Disertacija, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 02.03.2025., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

Mravić M. An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes [Disertacija]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2022 [pristupljeno 02.03.2025.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

M. Mravić, "An algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes", Disertacija, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2022. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:242656
Prijavite se u repozitorij kako biste mogli spremiti objekt u svoju listu.
Podaci o radu
NaslovAn algorithm for construction of extremal and near-extremal Z4-codes
Naslov (hrvatski)Algoritam konstrukcije ekstremalnih i skoro ekstremalnih Z4-kodova
AutorMatteo Mravić
MentorSanja Rukavina (mentor)
Član povjerenstvaDean Crnković (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaVedran Krčadinac (član povjerenstva)
Član povjerenstvaSanja Rukavina (član povjerenstva)
Član povjerenstvaVedrana Mikulić Crnković (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2022-07-01, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Univerzalna decimalna klasifikacija
(UDC)		51 - Matematika
Sažetak
Self-dual Z4-codes are, depending on their Euclidean weight distribution, divided on Type I and Type II codes. For self-dual Z4-codes, a theoretical upper bound on the minimum Euclidean weight of a code is known. Codes that meet that upper bound are called extremal Z4-codes. It is known that Type I extremal Z4-codes do not exist for lengths 24 and 48. For these lengths, self-dual Z4-codes that have the best possible minimum... Više weight are called near-extremal Z4-codes. The main subject of this thesis are extremal and near-extremal Z4-codes. It is known that Type II Z4-codes exist only for lengths divisible by 8. Since we wanted to construct Z4-codes of Type I and Type II, our work is restricted to such lengths. The known method of construction of a self-dual Z4-code has a doubly-even binary code of dimension k as a starting point. It consists of choosing one matrix B among the 2k(k+1)2 binary k×k matrices that are suitable for the construction of a self-dual Z4-code. The usual approach to the construction of extremal or near-extremal Z4-codes consists of the construction of self-dual Z4-codes and checking their minimum Euclidean weight. The calculation of the minimum Euclidean weight is necessary to determine extremality or near-extremality of Z4-codes, but it is also time consuming. Calculation of minimum Euclidean weight of the code gets slower as the length of the examined code gets bigger. This fact, together with the size of the search space, makes this method inefficient. In this thesis, we modified the known method in such way that more than one Z4-code can be checked for extremality or near-extremality, from one calculation of the minimum Euclidean weight. This increases the efficiency of the existing method. Also, we developed a method to construct a series of Hadamard designs on 4n−1 points from one skew-symmetric Hadamard matrix of order n. This was motivated by the known fact that incidence matrix of a Hadamard 3- design spans a doubly-even binary code. We used developed algorithms to construct new extremal Z4-codes of length 32 and 40. Also, we used the residue codes of the known extremal Z4-codes of length 40 to construct new extremal Z4-codes of the same length. Regarding length 48, by our modified method, we obtained already known extremal Z4-code, and at least two nonequivalent near-extremal Z4-codes. This near-extremal Z4-codes are of no great importance since they have the same residue code as the already known extremal Z4-code of that length. We applied described methods on codes of lengths 56, 64 and 72, but no extremal or near-extremal Z4-codes were constructed. From obtained codes of length 32 and 40, we constructed strongly regular graphs. All of the obtained graphs were already known. Also, we constructed 1-designs on 32 points from obtained extremal Z4-codes of length 32. Some of the constructed designs are resolvable. Sakrij dio sažetka
Sažetak (hrvatski)
Samodualni Z4-kodovi, u ovisnosti o njihovoj distribuciji euklidskih težina, podijeljeni su na kodove tipa I i tipa II. Za samodualne Z4-kodove, teorijske gornje granice minimalnih euklidskih težina su poznate. Kodovi koji dostižu te teorijske granice nazivaju se ekstremalnim Z4-kodovima. Poznato je da ne postoje ekstremalni Z4-kodovi tipa I i duljina 24 i 48. Za te duljine, kodovi tipa I koji postižu maksimalnu moguću minimalnu... Više euklidsku težinu nazivaju se skoro ekstremalnim Z4-kodovima. Predmet istraživanja ove doktorske disertacije su ekstremalni i skoro ekstremalni Z4-kodovi. Poznato je da Z4-kodovi tipa II imaju duljine djeljive s 8. S obzirom da smo htjeli konstruirati Z4-kodove oba tipa, ograničili smo ovaj rad na duljine kodova djeljive s 8. Poznata metoda konstrukcije samodualnog Z4-koda polazi od binarnog dvostruko parnog koda dimenzije k, a sastoji se od odabira jedne od 2k(k+1)2 binarnih k×kmatrica B koje su pogodne za konstrukciju samodualnog Z4-koda. Dosadašnji pristup konstrukciji ekstremalnih i skoro ekstremalnih Z4-kodova sastojao se od slučajnog pretraživanja prostora tih matrica i izračuna minimalne euklidske težine dobivenog samodualnog Z4-koda. Izračun minimalne euklidske težine samodualnog Z4-koda nužan je za utvrđivanje ekstremalnosti koda, ali postaje vremenski zahtjevan s porastom duljine koda. Zbog toga, i velikog prostora pretraživanja, ovakav pristup nije efikasan. U ovoj disertaciji modificirali smo opisanu metodu tako da se iz jednog izračuna minimalne euklidske težine Z4-koda uspješno ispituje ekstremalnost i skoro ekstremalnost većeg broja kodova. Time smo povećali učinkovitost postojeće metode. Također, razvili smo metodu konstrukcije serije Hadamardovih dizajna na 4n−1 točaka iz koso-simetrične Hadamardove matrice dimenzije n. Motivacija za ovu konstrukciju je poznata činjenica da Hadamardovi 3-dizajni razapinju dvostruko parne binarne kodove, koji su polazna točka konstrukcije samodualnih Z4-kodova. Pomoću te konstrukcije i modificirane metode konstrukcije ekstremalnih i skoro ekstremalnih Z4-kodova, konstruirali smo nove ekstremalne Z4-kodove duljine 32 i 40. Modificiranu metodu primijenili smo i na rezidualne kodove poznatih ekstremalnih Z4-kodova duljine 40 te smo, također, konstruirali nove ekstremalne Z4-kodove. Iz binarnih kodova duljine 48 konstruirali smo jedan, već poznati, ekstremalan Z4-kod te barem dva neekvivalentna skoro ekstremalna Z4-koda. Dobiveni skoro ekstremalni kodovi nisu od velikog značaja jer imaju isti rezidualan kod kao i poznat ekstremalan Z4-kod iste duljine. Konstrukciju smo proveli i za duljine 56, 64 i 72, međutim nismo pronašli ekstremalane niti skoro ekstremalne Z4-kodove. Iz dobivenih binarnih kodova duljina 32 i 40 konstruirali smo već poznate jako regularne grafove. Također, iz ekstremalnih Z4-kodova duljine 32 konstruirali smo 1-dizajne sa 32 točke. Sakrij dio sažetka
Ključne riječi
Ključne riječi (hrvatski)
Jezikengleski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:242656
Studijski programNaziv: Matematika
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: poslijediplomski doktorski
Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
Vrsta resursaTekst
Opsegxiv, 129 str.
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2022-10-11 14:02:56
accessibility

closePristupačnostrefresh

Ako želite spremiti trajne postavke, kliknite Spremi, ako ne - vaše će se postavke poništiti kad zatvorite preglednik.